线性方程组

基本概念

非齐次线性方程组

我们称

$$\begin{cases}\tag{1} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m \\ \end{cases}$$

是$n$个未知数$m$个方程的非齐次线性方程组。其中$x_1,x_2,...,x_n$是$n$个未知数，而$b_1,b_2,...,b_m$是不全为0的常数
我们也可以用矩阵去表示

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$$

于是方程组（1）的矩阵形式:

$$Ax=b$$

其中$A$是方程组（1）的系数矩阵

齐次线性方程组

我们称

$$\begin{cases}\tag{2} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=0 \\ \end{cases}$$

是$n$个未知数$m$个方程的齐次线性方程组。其中$x_1,x_2,...,x_n$是$n$个未知数。
其矩阵形式为

$$Ax=0$$

齐次线性方程组

对于

$$\begin{cases}\tag{2} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=0 \\ \end{cases}$$

显然$(0,0,...,0)^T$一定是方程组的一个解，我们称之为零解。如果方程组还有其他解，我们就称其为非零解

克拉默法则
若包含$n$个方程的$n$个未知量的齐次线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases}$$

如果系数行列式$|A|\ne0$则该方程有唯一零解

基础解系

如果$\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$是其次方程组的$Ax=0$的解，并且满足

1. $\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$线性无关
2. $Ax=0$的每一个解$\eta$都可以用$\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$线性表出

则称$\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$是$Ax=0$的一个基础解系

解的性质

如果$\eta_1,\eta_2,...,\eta_n$是其次方程组的$Ax=0$的解，那么对任意常数$k_1,k_2,...,k_n$，

$$k_1\eta_1+k_2\eta_2+...+k_n\eta_n$$

仍然是该方程组的解。

定理
齐次方程组$A_{m*n}x=0$有非零解$\Leftrightarrow \begin{cases} r(A)<n \\ \text{列向量线性相关} \end{cases}$

推论
当$m<n$时，$Ax=0$必有非零解
当$m=n$时，$Ax=0$有非零解$\Leftrightarrow|A|=0$

定理
如齐次方程组（2）系数矩阵的秩$r(A)=r<n$，则（2）有$n-r$个线性无关的解

推论
当$m<n$时，$Ax=0$必有非零解
当$m=n$时，$Ax=0$有非零解$\Leftrightarrow|A|=0$

非齐次线性方程

解的性质

1. 设$\zeta_1，\zeta_2$是方程组$Ax=b$的两个解，则$\zeta_1-\zeta_2$是导出组$Ax=0$的解。
2. 设$\zeta$是方程组$Ax=b$的解，$\eta$是导出组$Ax=0$的解，$k$是任意常数，则$\zeta+k\eta$是方程组$Ax=b$的解。

定理
有解的情况
$Ax=b$有解$\Leftrightarrow \begin{cases} r(A)=r(\overline{A}) \\ \text{b可由A的列向量线性表出} \end{cases}$

$\begin{cases} \text{唯一解} r(A)=r(\overline{A})=n \\ \infty解 r(A)=r(\overline{A})<n \end{cases}$

无解的情况
$Ax=b$有解$\Leftrightarrow r(A)+1=r(\overline{A})$

$\overline{A}=[A,b]$称为$Ax=b$的增广矩阵

定理
(解的结构)设$\alpha$是$Ax=b$的解，$\eta_1,\eta_2,...,\eta_t$是导出组$Ax=0$的基础解系，则方程组$Ax=b$的通解是

$$\alpha+k_1\eta_1+k_2\eta_2+...+k_t\eta_t$$

其中$k_1,k_2,...,k_n$是任意常数