向量的概念、向量组的概念

向量

定义 nn 个数 a1,a2,…,ana_1,a_2 ,…,a_n 所组成的有序数组：

α=(a1,a2,…,an)或α=(a1,a2,…,an)T\alpha=(a_1,a_2 , …,a_n)或 \alpha=(a_1,a_2 ,…,a_n)^T

叫做 nn 维向量，其中 a1,a2,…,ana_1,a_2,…,a_n 叫做向量 α\alpha 的分量(或坐标)，前一个表示式称为列向量，后者称为行向量。

向量的基本运算
α+β=(a1+b1,a2+b2,....,an+bn)\alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,....,a_n+b_n)
kα=(ka1,ka2,...,kan)k\alpha=(ka_1,ka_2,...,ka_n)

向量组

若干个相同维数的行向量（或者列向量）所组成的全部集合叫做向量组。

α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_s 和 α1,α2,…,αr\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_r ，其中 s≦rs \leqq r ，则称α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_s 是α1,α2,…,αr\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_r 的部分组，α1,α2,…,αr\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_r 是整体组。

线性表出、线性相关

线性表出

mm 个 nn 维向量 α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m 及 mm 个数 k1,k2,…,kmk_1,k_2 ,… ,k_m ，则向量

k1α1+k2α2+…+kmαmk_1α_1+k_2α_2+…+k_mα_m

称为向量 α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m 的一个线性组合 ，k1,k2,…,kmk_1,k_2 ,… ,k_m称为这个线性组合的系数。
若 β\beta 能表示成α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m的线性组合,即

β=k1α1+k2α2+…+kmαm\beta=k_1α_1+k_2α_2+…+k_mα_m

则称 β\beta 能由 α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m 线性表出。

Notes:
线性表出具有可传递性，例如：
已知α,β1,β2,β3,γ1,γ2α,\beta_1,\beta_2,\beta_3,\gamma_1,\gamma_2都是n维向量,如果αα可由β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3线性表出，β1,β2,β3\beta_1,\beta_2,\beta_3可由γ1,γ2\gamma_1,\gamma_2线性表出,则αα可由γ1,γ2\gamma_1,\gamma_2线性表出.

线性相关

定义对 mm 个 nn 维向量 α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m ，若存在不全为零的数 k1,k2,…,kmk_1,k_2 ,… ,k_m ,使得

k1α1+k2α2+…+kmαm=0k_1α_1+k_2α_2+…+k_mα_m=0

成立,则称向量组 α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m 线性相关,否则称它们线性无关。

Notes：
α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m线性无关⇔\Leftrightarrow秩r(α1,α2,…,αm)=mr(α_1,α_2 , …,α_m)=m⇔\Leftrightarrow方程组k1α1+k2α2+…+kmαm=0k_1α_1+k_2α_2+…+k_mα_m=0只有零解

nn个nn维向量α1,α2,…,αnα_1,α_2 , …,α_n线性无关⇔\Leftrightarrow∣α1,α2,…,αm∣≠0|α_1,α_2 , …,α_m|\ne0

  1. 显然含有零向量，相等向量或成比例向量的向量组是线性相关的；单个向量时，零向量是线性相关的。
  2. 线性表出对系数无要求、线性相关有要求（不全为0）

定理与推论

定理一

向量 ββ 可由 α1,α2,…,αmα_1,α_2 , …,α_m 线性表出
⇔∃\Leftrightarrow \exists 实数 k1,k2,…,kmk_1,k_2 , …,k_m使β=k1α1+k2α2+…+kmαm\beta=k_1α_1+k_2α_2+…+k_mα_m。

⇔\Leftrightarrow 方程组 [a1a2⋯am][x1x2⋮xm]=β\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{m} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \\ \end{bmatrix}= \beta 有解

⇔\Leftrightarrow 秩 r(α1,α2,…,αm)=r(α1,α2,…,αm,β)r(\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_m)=r(\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_m,\beta)。

对于Ax=b来说就是r(A)=r(A‾)Ax=b来说就是r(A)=r(\overline{A})

定理二

向量组线性相关 ⇔\Leftrightarrow 对应的齐次线性方程组有非零解 ⇔\Leftrightarrowr(α1,α2,…,αm)<mr(\alpha_1,\alpha_2 ,…,\alpha_m)<m

推论

  1. nn个nn维向量α1,α2,…,αnα_1,α_2 , …,α_n线性无关⇔\Leftrightarrow∣α1,α2,…,αn∣≠0|α_1,α_2 , …,α_n|\ne0。

    该推论可以根据克拉默法则得出，克拉默法则强调系数行列式不为0则n个方程n个未知量的齐次方程组有唯一零解。

  2. n+1n+1个nn维向量必线性相关。

定理三

如果 nn 维向量 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s 线性无关，α1,α2,…,αs,β\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s,\beta 线性相关，则向量 β\beta 可由 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s 线性表出且表示法唯一。

可以参考克拉默法则

定理四

向量组 α1,α2,⋯ ,αs(s⩾2)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s \geqslant 2) 线性相关的充分必要条件是至少有一个向量 αi\alpha_i 可由其余的向量 α1,αi−1,αi+1,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_i-1,\alpha_i+1,\cdots,\alpha_s 线性表出。

定理五

如果 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s 可由 β1,β2,⋯ ,βt\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t 线性表出且 s>ts>t ，则 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s 必线性相关。
如果 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s 可由 β1,β2,…,βt\beta_1,\beta_2,…,\beta_t 线性表出且 α1,α2,…,αs\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s 线性无关，则 s⩽ts\leqslant t。

定义设向量组

(1)α1,α2,…,αs;(2)β1,β2,…,βs(1) α_1,α_2 ,… ,\alpha_s;(2)\beta_1,\beta_2 ,…, \beta_s

若(1)中的每个向量αi,i=1,2,…,sα_i,i=1,2,…,s,均可由(2)线性表出,则称(1)可由(2)线性表出;若向量组(1)、(2)可以相互表出,则称向量组(1)、(2)是等价向量组,记成(1)≅(2)(1)\cong(2)。

定理
如果向量组(1)可由向量组(2)线性表出，则r(1)≤r(2)r(1)\le r(2)
推论
如果向量组(1)可由向量组(2)等价，则r(1)=r(2)r(1)=r(2)

向量组的秩、矩阵的秩

向量组的秩

定义
向量组 αi1,αi2,⋯ ,αir(1≤ir≤s)\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} (1≤i_r≤s) 是向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s 的部分组,满足条件

  1. αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} 线性无关;

  2. 向量组中任一向量 αi(1≤i≤s)α_i(1≤i≤s) 均可由 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} 线性表出,则称向量组 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} 是向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s 的极大线性无关组。
    条件(2)的等价说法是: αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} 中加入任一向量 αi(1≤i≤s)α_i(1≤i≤s) , 则向量组 αi1,αi2,⋯ ,αir,αi\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r},α_i 线性相关。

    是因为借助 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r} 可以构建出 αi\alpha_i ，那么 −αi+αi=0-\alpha_i+\alpha_i=0

向量组的极大无关组一般不唯一，但极大无关组的向量个数是一样的。 只有一个零向量组成的向量组没有极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身。
向量组的极大线性无关组的向量个数称为向量组的秩，记为 r(α1,α2,…,αs)r(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s)。

秩也是行最简矩阵的非零行数目

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。
一个向量组中各极大无关组之间是等价向量组,且向量个数相同。

矩阵的秩

定义
在 m×nm×n 矩阵 AA 中，任取 kk 行与 kk 列 (k≦m,k≦n)(k \leqq m,k \leqq n)，位于这些行与列的交叉点上的 k2k^2 个元素按其在原来矩阵 AA 中的次序可构成一个 kk 阶行列式，称其为矩阵 AA 的一个 kk 阶子式。

定义(矩阵的秩)
设 AA 是 m×nm×n 矩阵，若 AA 中存在 rr 阶子式不等于零，rr 阶以上子式均等于零，则称矩阵 AA 的秩为 rr，记成 r(A)r(A) ，零矩阵的秩规定为0。
秩 r(A)=rr(A)=r ⇔\Leftrightarrow 矩阵 AA 中非零子式的最高阶数是 r(A)=rr(A)=r。
r(A)<rr(A)<r ⇔A\Leftrightarrow A 中每一个r阶子式全为0。
r(A)≥rr(A)≥r ⇔A\Leftrightarrow A 中有r阶子式不为0
特别地,r(A)=0⇔A=0r(A)=0 \Leftrightarrow A = 0，
A≠0⇔r(A)≥1A≠0 \Leftrightarrow r(A)≥1。
若 AA 是 nn 阶矩阵，r(A)=n⇔∣A∣≠0⇔A可逆r(A)=n \Leftrightarrow |A|≠0 \Leftrightarrow A可逆。
r(A)=n⇔∣A∣=0⇔A不可逆r(A)=n \Leftrightarrow |A|=0 \Leftrightarrow A不可逆。
若 AA 是 m×nm×n 矩阵,则 r(A)≤min(m,n)r(A)\le min(m ,n)。
经初等变换矩阵的秩不变。

正交规范化、正交矩阵

内积

  1. 定义
    设有 nn 维向量 α=(α1,α2,⋯ ,αn)T\alpha=(\alpha_1,\alpha_2, \cdots ,\alpha_n)^T 和 β=(β1,β2,⋯ ,βn)T\beta=(\beta_1,\beta_2, \cdots ,\beta_n)^T，令

    (α,β)=αTβ=αβT=∑i=1nαiβi(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=\alpha\beta^T=\sum_{i=1}^n \alpha_i\beta_i

    称(α,β)(\alpha,\beta)为向量α\alpha和β\beta的内积。

  2. 性质

    1. (α,β)=(β,α)(α,\beta)=(\beta,α)(对称性)；
    2. λ(α,β)=(λα,β)=(α,λβ)\lambda(α,β)= (\lambdaα , β)= (α ,\lambdaβ)(线性性)；
    3. (α+β,γ)=(α,γ)＋(β,γ)(α+β,\gamma)= (α,\gamma)＋(β,\gamma)(线性性)；
    4. (α,α)≥0(α ,α)≥0,等号成立当且仅当α=0α=0(正定性)

单位向量

定义
设 ∣∣α∣∣=(α,α)=α12+α22,+⋯+αn2||α||=\sqrt{(\alpha,\alpha)}=\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2,+\cdots+\alpha_n^2} 称为向量 α=(α1,α2,⋯ ,αn)T\alpha=(\alpha_1,\alpha_2, \cdots ,\alpha_n)^T 的模(长度)， ∣∣α∣∣=1||α||=1 时称α为单位向量。

正交

定义
两个向量 α,β\alpha,\beta 夹角的余弦为：

cos(α,β^)=(α,β)∣∣α∣∣∗∣∣β∣∣cos(\widehat{\alpha,\beta})=\frac{(\alpha,\beta)}{||\alpha||*||\beta||}

当(α,β)=0(\alpha,\beta)=0时，则cos(α,β^)=cos(β,α^)=π2cos(\widehat{\alpha,\beta})=cos(\widehat{\beta,\alpha})=\frac{\pi}{2}，则称向量α,β\alpha,\beta正交

施密特正交化

施密特(Schmidt)标准正交化方法
设向量组 α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关,其标准正交化的方法如下(又称正交规范化):
先正交化,取

β1=α1\beta_1=\alpha_1

β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)} {(\beta_1,\beta_1)} \beta_1

β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)} {(\beta_1,\beta_1)} \beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)} {(\beta_2,\beta_2)} \beta_2

则 β1,β2,β3β_1,β_2 ,β_3 是正交向量组.
再将 β1,β2,β3β_1,β_2 ,β_3 单位化.取

η1=β1∣β1∣η2=β2∣β2∣η3=β3∣β3∣\eta_1=\frac{\beta_1}{|\beta_1|} \qquad \eta_2=\frac{\beta_2}{|\beta_2|} \qquad \eta_3=\frac{\beta_3}{|\beta_3|}

则 η1,η2,η3\eta_1,\eta_2,\eta_3 是标准正交向量组,即有 (ηi,ηj)={0i≠j1i=j(\eta_i,\eta_j)=\begin{cases} 0 \qquad i \ne j \\\\ 1 \qquad i = j \end{cases}