矩阵

矩阵的概念和运算

矩阵的概念

1. 矩阵的概念
   $m \times n$ 个数排成如下 $m$ 行 $n$ 列的表格，

   $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

   称为是一个 $m \times n$ 的矩阵，当 $m=n$ 的时候，称为n阶矩阵或者n阶方阵。

2. 零矩阵
   当一个矩阵的所有元素都为0的时候称为零矩阵，记作0。

   $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix}$$

3. 同型矩阵
   两个矩阵行数和列数都相等称为同型矩阵。

4. 矩阵相等
   两个同型矩阵对应的元素都相等称为矩阵AB相等，记作A=B。

矩阵的运算

1. 相加
   两个同型矩阵可以相加

   $$A+B=[a_{ij}]_{m \times n}+[b_{ij}]_{m \times n}=[a_{ij}+b_{ij}]_{m \times n}$$

2. 数乘
   设 $k$ 是数，则有

   $$kA=k[a_{ij}]_{m*n}=[ka_{ij}]_{m*n}$$

3. 乘法

   $$c_{ij}=\sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+....+a_{is}b_{sj}$$

   注意点

   1. $AB \ne BA$
   2. $AB=0 \nRightarrow A=0或B=0$
   3. $AB=AC,A \ne 0 \nRightarrow B=C$

4. 关于$\alpha\beta^T$，$\beta\alpha^T$，$\alpha^T\beta$，$\beta^T\alpha$

   注意$\alpha\alpha^T$是对称矩阵

5. 转置
   将 $m \times n$ 型矩阵 $A=[a_{ij}]_{m \times n}$ 的行列互换得到的 $n \times m$ 矩阵 $A=[a_{ji}]_{n*m}$ 称为A的转置矩阵，记为 $A^T$ ，即若

   $$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$$

   则有

   $$A^T= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix}$$

6. 矩阵多项式
   设A是$n$阶矩阵，$f(x)=a_m \cdot x^m+…+a_1 \cdot x+a_0$ 是$x$ 的多项式，则称 $a_m \cdot A^m十a_{m-1} \cdot A^{m-1}+…+a_1 \cdot A+a_0 \cdot E$ 为矩阵多项式，记为 $f(A)$。

7. 运算法则

   1. 加法
      $A+B=B+A$
      $(A+B)+C=A+(B+C)$
      $A+0=A$
      $A+(-A)=0$
   2. 数乘矩阵
      $k(mB)=(km)A$
      $(k+m)A=kA+mA$
      $k(A+B)=kA+kB$
      $0A=0$
   3. 乘法
      $(AB)C=A(BC)$
      $A(B+C)=AB+AC$
      $(A+B)C=AC+BC$
   4. 转置
      $(A+B)^T=A^T+B^T$
      $(kA)^T=kA^T$
      $(AB)^T=B^TA^T$
      $(A^T)^T=A$

常见的矩阵

1. 单位矩阵
   单位矩阵用$E$表示

   $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

2. 数乘矩阵
   数$k$和单位矩阵$E$的积$kE$称为数量阵

3. 对角矩阵

   $$\begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 & 0 \\ 0 & a_2b_2 \end{bmatrix}$$

   对角矩阵的注意事项

   1. $AB=BA$

   2. $$\begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} a_1^n & 0 \\ 0 & a_2^n \end{bmatrix}$$

   3. $$\begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_1} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_2} \end{bmatrix}$$

4. 上（下）三角阵
   当$i>j(i<j)$时，有$a_{ij}$的矩阵称为上（下）三角阵

   $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$$

5. 对称阵
   满足$A^T=A$的对称阵

6. 反对称阵
   满足$A^T=-A$的对称阵

伴随矩阵、可逆矩阵

伴随矩阵的概念与公式

1. 伴随矩阵的概念

   对于矩阵$A$对应的行列式$|A|$所有代数余子式构成的形如

   $$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \\ \end{bmatrix}$$

   称为矩阵$A$的伴随矩阵，记作$A^*$

2. 伴随矩阵的公式

   1. $AA^{\ast}=A^{\ast} A=|A|E$

      由此可以得出$A^\ast=|A|A^{-1}$

   2. $(A^\ast)^{-1}=(A^{-1})^\ast=\frac{1}{|A|}A$
   3. $(kA)^\ast=k^{n-1}A^\ast$
   4. $(A^\ast)^T=(A^T)^\ast$
   5. $|A^\ast|=|A|^{n-1}$
   6. $(A^\ast)^\ast=|A|^{n-2}A(n\geqq2)$

可逆矩阵的概念和定理

1. 概念
   对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得

   $$AB=BA=E$$

   则称$A$是可逆矩阵或者非奇异矩阵，$B$称为$A$的逆矩阵，记成$A^{-1}=B$

2. 定理

   1. 如果 $A$ 矩阵可逆，则它的逆矩阵唯一

      设B、C都是A的逆矩阵，则有
      $AB=BA=E$和$AC=CA=E$
      那么很容易得出
      $B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$

   2. $A可逆 \Leftrightarrow |A| \ne 0$

      如果 $A$ 可逆，则存在 $A^{-1}$ 。

      $$|A \cdot A^{-1}| = |E| \Rightarrow |A||A^{-1}| = 1$$

      如果 $|A|=0$ ，由 $AA^{\ast}=A^{\ast}A=|A|E$ 可以得到

      $$A \cdot \frac{A^*}{|A|} = \frac{A^*}{|A|} \cdot A =E$$

      同时也可以得到

      $$A^{-1} = \frac{A^{\ast}}{|A|}$$

   3. 设 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵且 $AB=E$，则有 $BA=E$

3. 推论

   1. 如果 $A$ 矩阵可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
   2. 如果 $A$ 矩阵可逆，且 $k \ne 0$，则 $kA$ 也可逆，且 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
   3. 如果$A$和$B$均可逆，则$AB$也可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

4. 求逆矩阵的方法

   1. $$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$$

   2. 用初等变换法 $(A|B) \Rightarrow (E|A^{-1})$
   3. 使用定义求解
   4. 使用分块矩阵

      $$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C \\ \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \\ \end{bmatrix}$$

初等变换、初等矩阵

初等变换与初等矩阵的概念

1. 初等变换

   初等变换包含倍加，倍乘和互换

   1. 倍乘：用某个非零常数$k(k \ne 0)$乘$A$的某行（列）的每个元素
   2. 倍加：将$A$的某行（列）的元素的$k$倍加到另一行
   3. 互换：互换$A$的某两行（列）的位置

2. 初等矩阵
   由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵，存在下列三种情况：

   1. 倍乘初等矩阵，用$E(i(k))$表示，例如

      $$E(2(k))= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

      表示单位矩阵的第二行或者第二列乘$k$倍
      对倍乘初等矩阵来说，以上面的示例为例，它的逆矩阵可以表示为

      $$E(2(k))^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   2. 互换初等矩阵，用$E(i,j)$表示，例如

      $$E(1,2)= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

      表示单位矩阵的第一行和第二行互换，或者第一列和第二列互换
      对互换初等矩阵来说，以上面的示例为例，它的逆矩阵可以表示为

      $$E(1,2)^{-1}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   3. 倍加初等矩阵，用$E(ij(k))$表示，例如

      $$E(13(k))= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

      表示第一行的$k$倍加到第三行的矩阵
      对倍加初等矩阵来说，以上面的示例为例，它的逆矩阵可以表示为

      $$E(13(k))^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -k & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

3. 初等矩阵的左乘和右乘
   初等矩阵$P$左乘矩阵$A$所得到的结果$PA$，就是矩阵$A$做一次和$P$相同的行变换
   初等矩阵$P$右乘矩阵$A$所得到的结果$AP$，就是矩阵$A$做一次和$P$相同的列变换

等价矩阵

矩阵$A$经过有限次的初等变换所得到矩阵$B$，则称$A$和$B$等价，记作$A \cong B$

分块矩阵

1. 概念
   将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一个小块称为原矩阵的子矩阵或者子块

2. 分块矩阵的计算

   $$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C \\ \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \\ \end{bmatrix}$$

   $$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C \\ \end{bmatrix}^n= \begin{bmatrix} A^n & 0 \\ 0 & C^n \\ \end{bmatrix}$$

   $$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} A^T & B^T \\ C^T & D^T \\ \end{bmatrix}$$