行列式

行列式的概念

行列式是一个数，即==不同行不同列元素的代数和==。

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-b_1a_2$$

对于主对角线减副对角线的计算方式，只适用于二阶三阶行列式。

n阶行列式

对于n阶行列式我们要有一个简单的了解：

$$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}=\sum_{j_1,j_2,...,j_n}{(-1)^{\tau(j_1,j_2,...,j_n)}a_{1j_1}a_{1j_2}...a_{1j_n}}$$

这里的$$\sum_{j_1,j_2,…,j_n}$$表示对所有的$n$阶排列进行求和。

1.所谓的排列就是由n个数所构成的一个有序数组，通常用$j_1,j_2,...,j_n$表示n阶排列，显然共有$n!$个$n$阶排列。
2. 在排列中一个大数排在一个小数之前，就称为一个逆序，一个排列中列大数排在小数前面的总数称为逆序数。
3. 逆序数是奇数为奇排列，总数为偶数为偶排列。

由此很容易得到

$$\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{vmatrix}=abcd$$

行列式的性质

1. 经过转置行列式的值不变。
2. 倍加值不变。
3. 两行（列）互换加$-$号。
4. 某行（列）$K$倍可以提出行列式外。
   1. 某行（列）的元素全为0，行列式值为0。
   2. 若两行（列）的元素成比例，行列式值为0。
5. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可以把行列式拆成两个行列式之和。

行列式按行（或列）展开公式

在$n$阶行列式

$$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

中去除$a_{ij}$所在的$i$行$j$列的元素，由剩下的元素构成的行列式称为余子式，记为$M_{ij}$，称$(-1)^{i+j}M_{ij}$为代数余子式。

定理一:$|A|$=某行（列）都有元素×其代数余子式之和。
定理二:$n$阶行列式等于它的任意一行（列）元素与另一行对应的代数余子式之和为0。

特殊型

1. 主对角线上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积
2. 副对角线上（下）三角形行列式